PROGRAM LINEAR

 A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIBEL

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel merupakan suatu kalimat terbuka matematika yang di dalamnya memuat dua variabel.

Dengan masing-masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud disini antara lain: >, <, ≤, atau ≥. Bentuk dari pertidaksamaan linear bisa kita tuliskan seperti berikut ini:Nilai optimum fungsi objektif adalah nilai maksimum atau minimum fungsi objektif sebagai hasil dari substitusi titik-titik ekstrem terhadap fungsi linear f(x, y) = px + qy, penjabarannya sebagai berikut.

1. Nilai Maksimum Fungsi Objektif

Nilai maksimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≤ m 

cx + dy ≤ n 

x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. Nilai Minimum Fungsi Objektif

Nilai minimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≥ m

cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o

Contoh Soal :

1.    Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...
a.    24
b.    32
c.    36
d.    40
e.    60
PEMBAHASAN:
-    x + y ≤ 8
ketika x = 0, maka y = 8 .... (0, 8)
ketika y = 0, maka x = 8 .... (8, 0)
-    x + 2y ≤ 12
ketika x = 0, maka y = 6 .... (0, 6)
ketika y = 0, maka x = 12 .... (12, 0)
Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah:

Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu:

subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8
x + 4 = 8
x = 4 .... (4, 4)
Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah:
f(x, y) = 5x + 4y

1. ax + by > c
2. ax + by < c
3. ax + by ≥ c
4. ax + by ≤ c

Definisi

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk

ax + by + c < 0

ax + by + c ≤ 0

ax + by + c > 0

ax + by + c ≥ 0

dengan:

a, b : koefisien (a ≠ 0, b ≠ 0, a,b ∈ R)

c : konstanta (c ∈ R)

x, y : variabel (x, y ∈ R)

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dan gambarkan grafik untuk setiap pertidaksamaan di bawah ini.

 –2x + y > 5, untuk x dan y semua bilangan real

Alternatif Penyelesaian

Dengan menguji nilai-nilai x dan y yang memenuhi – 2x + y > 5 , maka dapat ditemukan banyak pasangan x dan y yang memenuhi pertidaksamaan.

Ilustrasi himpunan penyelesaian, jika dikaji secara geometris disajikan pada gambar berikut.

Dari gambar diperoleh bahwa terdapat titik yang tak hingga banyaknya (daerah yang tidak diarsir) yang memenuhi –2x + y > 5.

Kali ini, melalui grafik, kita dapat memilih sembarang titik, misalnya titik (–5, 0), sedemikian sehingga –2(–5) + 0 = 10 > 5 adalah pernyataan benar.

Secara umum, program linear terdiri dari dua bagian, yaitu fungsi objektif (fungsi tujuan) dan fungsi kendala.

1. Fungsi Objektif (Fungsi Tujuan)

Fungsi objektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimalkan. Fungsi objektif bisa bernilai maksimum atau minimum. Hal ini tergantung pada kasusnya.

Jika fungsi objektif biaya produksi, nilainya dicari yang minimum. Namun, kalau fungsi objektif berupa keuntungan, nilainya dicari yang maksimum. 

Bentuk umum fungsi tujuan adalah maksimum atau minimum f(x, y) = px + qy, dengan p dan q adalah konstanta.

2. Fungsi Kendala

Fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh peubah yang terdapat dalam fungsi objektif. Bentuk umum dari fungsi kendala adalah sebagai berikut.

ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m

cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o

Berikut karakteristik program linear.

1. Program linear dapat mengatasi permasalahan dengan kendala-kendalanya dalam bentuk pertidaksamaan.

2. Program linear dapat mengatasi jumlah kendala yang banyak.

3. Program linear hanya terbatas pada fungsi objektif dan kendala linear.

, Langkah-langkah menuliskan persoalan sehari-hari ke dalam model matematika adalah sebagai berikut.

1. Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dalam sebuah tabel.
2. Buat permisalan untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variabel x dan y.
3. Buat sistem pertidaksamaan linear dari hal-hal yang sudah diketahui. 
4. Tentukan fungsi objektif
5. Selesaikan model matematika tersebut untuk mendapatkan nilai optimum dari fungsi objektif. 

Model matematika terdiri atas dua bagian, yaitu:

1. Fungsi objektif, yakni f(x, y) = px + qy
2. Syarat atau batasan yang berisikan kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh variabel x dan y

Nilai optimum fungsi objektif adalah nilai maksimum atau minimum fungsi objektif sebagai hasil dari substitusi titik-titik ekstrem terhadap fungsi linear f(x, y) = px + qy, penjabarannya sebagai berikut.

1. Nilai Maksimum Fungsi Objektif

Nilai maksimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≤ m 

cx + dy ≤ n 

x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. Nilai Minimum Fungsi Objektif

Nilai minimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≥ m

cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o

Contoh Soal :

1.    Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...

a.    24

b.    32

c.    36

d.    40

e.    60

PEMBAHASAN:

-    x + y ≤ 8

ketika x = 0, maka y = 8 .... (0, 8)

ketika y = 0, maka x = 8 .... (8, 0)

-    x + 2y ≤ 12

ketika x = 0, maka y = 6 .... (0, 6)

ketika y = 0, maka x = 12 .... (12, 0)

Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah:

Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu:

subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8

x + 4 = 8

x = 4 .... (4, 4)

Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah:

f(x, y) = 5x + 4y

-    titik A (0, 6)

      5x + 4y = 5.0 + 4.6 = 24

-    titik B (4, 4)

      5x + 4y = 5.4 + 4.4 = 20 + 16 = 36

-    titik C (8, 0)

      5x + 4y = 5.8 + 4.0 = 40

Jadi, nilai maksimumnya adalah 40.

Daftar pustaka:

https://wirahadie.com/materi-matematika-kelas-11-bab-2/amp/), kabarkan.com (https://kabarkan.com/program-linear

https://kumparan.com/kabar-harian/program-linear-pengertian-model-matematika-dan-contoh-soalnya-1xDW1k8fUWz

https://soalkimia.com/contoh-soal-program-linear/