BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Romawi I

A. Barisan dan Deret Aritmetika

Pengertian Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang tiap suku berikut diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurang dengan sebuah bilangan tetap. Sejalan dengan pengertian tersebut, maka dalam barisan aritmetika suku sesudah dikurang suku sebelumnya selalu sama.

Pengertian Deret Aritmetika

Deret aritmetika juga bisa diartikan sebagai barisan yang nilai seluruh sukunya diperoleh dari penjumlahan atau pengurangan suku sebelumnya dengan suatu bilangan.

Rumus Barisan Aritmetika

U_n = a + (n - 1)b

Keterangan:

• a = U₁ = suku pertama dalam barisan aritmatika.
• b = beda barisan aritmatika = U_n – U_n-1 dengan n adalah banyaknya suku
• n = jumlah suku
• U_n = jumlah suku ke n 

Rumus Deret Aritmetika

Sn = n/2 (a + Un) atau Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)

Keterangan:

• a = U₁ = suku pertama dalam barisan aritmatika.
• b = beda barisan aritmatika = U_n – U_n-1 dengan n adalah banyaknya suku
• n = jumlah suku
• U_n = jumlah suku ke n
• S_n = jumlah n suku pertama

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmetika

1. Pak Andi memiliki pinjaman sebesar Rp1.200.000 yang akan dilunasi dengan angsuran selama satu tahun. Pak Andi harus membayar angsuran sebesar Rp100.00 per bulan ditambah dengan bunga 1% dari sisa utang. Berapa jumlah bunga yang harus dibayar Pak Andi sampai utangnya lunas?

Jawab:

Bulan pertama: jumlah utang 1.200.000, bunga 12.000

Bulan kedua: jumlah utang 1.100.000, bunga 11.000

Bulan ke-12: jumlah utang 100.000, bunga 1000

Maka, a = 12.000, b = -1000,  n = 12, Un = 1000

Sn = n/2 (a + Un)

S12 = 12/2 (12000 + 1000) = 78.000

Jadi, bunga yang harus dibayar Pak Andi sampai utangnya lunas sebesar Rp 78.000.

B.Barisan Dan Deret Geometri

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang tiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengali dengan sebuah bilangan tetap. Sejalan dengan pengertian tersebut, maka dalam barisan geometri suku sesudah dibagi suku sebelumnya selalu sama.

Pengertian Deret Geometri

Deret geometri dapat disebut sebagai jumlah dari barisan bilangan yang suku-sukunya membentuk barisan geometri, sehingga deret geometri mudah untuk dibedakan dari yang lainnya.

Rumus barisan Geometri

  Keterangan:

Un = suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio
n = banyaknya suku

Rumus Deret Geometri

Untuk menghitung deret geometri atau jumlah suku pertama hingga suku ke-n dari barisan geometri, Anda bisa menggunakan rumus berikut:

 keterangan:

Sn = jumlah suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio
n = banyaknya suku

Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri

Farhan memiliki seutas tali. Lalu, tali tersebut dipotong menjadi 5 bagian dengan ketentuan, setiap potongan merupakan kelipatan potongan sebelumnya dan nilai kelipatan itu selalu tetap. Potongan tali yang paling pendeknya adalah 3 cm dan potongan tali terpanjangnya 243 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?

Pembahasan:

Diketahui:

U₁ = a = 3 cm

U₅ = 243

Ditanya: S_n =…?

Jawab:

Mula-mula, kamu harus mencari rasio setiap potongan tali tersebut menggunakan SUPER “Solusi Quipper” berikut.

Lalu, tentukan panjang tali menggunakan rumus deret geometri untuk r > 1.

Jadi, panjang tali Farhan mula-mula adalah 363 cm atau 3,63 m.

C.Bunga,Penyusutan,Pertumbuhan Dan Peluruhan,Bunga Dan Anuitas

•Bunga

Pengertian bunga

Pengertian Bunga Tunggal

Rumus Bunga Tunggal 

Contoh Soal Bunga Tunggal 

Pengertian Bunga Majemuk

Rumus Bunga Majemuk 

Contoh Soal Bunga Majemuk 

— Penyusutan

penyusutan atau depresiasi adalah suatu penurunan dari nilai aset tetap. Penyusutan ini sifatnya permanen. Dengan kata lain, ketika aset tersebut dikurangi biaya penyusutan, maka tidak bisa lagi dikembalikan ke nilai aslinya. Penyusutan aset ini bisa dikarenakan penggunaan aset atau berakhirnya waktu. 

Rumus:

Biaya penyusutan = (Harga perolehan – Nilai residu) / Umur ekonomis

Perhitungan tanpa menggunakan nilai residu

Rumus:

Biaya penyusutan = Harga perolehan / Umur ekonomis

Contoh soal :

PT Kurnia Sari membeli mobil baru untuk kebutuhan operasional perusahaan pada tanggal 15 Maret 2015 dengan harga Rp400.000.000 dan dibayar secara tunai. Empat tahun kemudian, mobil tersebut akan dijual dengan harga Rp100.000.000. Mobil tersebut sudah mengalami perubahan performa, yang awalnya bisa menempuh jarak hingga 100.000 km, sekarang hanya bsia menempuh jarak 50.000 km selama pemakaiannya. Berapakah biaya penyusutan mobil tersebut?

Jawab:

Kita gunakan rumus metode unit produksi.

Biaya penyusutan = (Harga perolehan – Harga residu) x (Pemakaian / Kapasitas maksimal)

Biaya penyusutan = (400.000.000 – 100.000.000) x (50.000 km / 100.000) = 150.000.000

Jadi, biaya penyusutan pada mobil tersebut adalah Rp150.000.000.

— Pertumbuhan 

  yaitu pertambahan atau kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). 

Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear;

Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial

Keterangan;

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat pertumbuhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!

Jawab;

P0 = 200.000

b = 4% = 0,04

n = 2 jam

Banyaknya bakteri setelah 2 jam;

Pn = P0 (1+b)n

P2 = 200.000 (1 + 0,04)2

P2 = 200.000 (1,0816)

P2 = 216.320 bakteri

— Peluruhan

 yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear;

Rumus peluruhan eksponensial;

Keterangan;

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat peluruhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh soal

Banyaknya penduduk di suatu kota setiap tahun mengalami kenaikan 1% dari total penduduk di tahun sebelumnya. Menurut sensus penduduk tahun 2009, penduduk di kota tersebut sebanyak 100.000 orang. Hitunglah jumlah penduduk pada tahun 2010 dan 2020!

Diketahui : n = 2020 – 2009 = 11

M = 100.000

Ditanya : Mn 2010 dan Mn 2020?

Jawab :

Mn 2020 = M ( 1+i ) n

= 100.000 ( 1 + 1/100) 11

= 100.000 ( 1,115668347)

= 111.567 orang

Mn 2010 = 100.000 . 1/100

= 1.000 + 100.000

= 101.000 orang

— Anuitas

 yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni

1. Besarnya pinjaman,

2. Besarnya bunga, dan 

3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran

Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas hutang, dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga perhitungannya;

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar M0 = Memperoleh bunga sebesar b per bulannya dengan anuitas sebesar A, maka bisa ditentukan:

Besarnya bunga pada periode ke-n;

Besar angsuran pada akhir periode ke-n: ditentukan dengan;

dan sisa hutang pada akhir periode ke-n;

Besar angsuran pada akhir periode ke-n: ditentukan dengan;

dan sisa hutang pada akhir periode ke-n;

;