Transformasi

 Transformasi Geometri ini pada dasarnya materi yang membahas terkait perubahan dari suatu bidang. Terjadinya transformasi geometri ini sebenarnya terjadi dalam kehidupan kita sehari-hari. Dalam matematika biasanya digambarkan lewat sebuah titik titik tertentu.

A. Translasi (Pergeseran), Refleksi (Pencerminan), Rotasi (Perputaran), Dilatasi (Perkalian)

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah salah satu jenis transformasi yang berguna untuk memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak.

Yang berarti, translasi tersebut hanya akan mengalami perpindahan titik ya guys.

Penentuan hasil objek lewat translasi cukup mudah. Caranya hanya dengan cara menambahkan absis serta ordinat dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan tertentu.

Untuk lebih jelasnya tentang proses translasi bisa dilihat pada gambar di bawah 

2. Refleksi (Pencerminan) 

Pembahasan selanjutnya yaitu pencerminan atau yang biasa kita kenal dengan sebutan refleksi.

Sama halnya dengan bayangan benda yang terbentuk pada sebuah cermin. Suatu objek yang mengalami refleksi akan mempunyai bayangan benda yang dihasilkan oleh suatu cermin.

Hasil dari refleksi pada bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya.

Refleksi tersebut akan memindahkan seluruh titik dengan memakai sifat pencerminan pada cermin datar. 

Rumus Umum Refleksi

1. Pencerminan terhadap sumbu -x : (x,y) → (x, -y)

2. Pencerminan terhadap sumbu -y : (x,y) → (-x, y)

3. Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (y,x)

4. Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (-y, -x)

5. Pencerminan terhadap garis x = h : (x,y) → (2h -x,y)

6. Pencerminan terhadap garis y = k : (x,y) → (x, 2k – y)

3. Rotasi (Pemutaran) 

Rotasi atau perputaran adalah sautu perubahan kedudukan atau posisi objek dengan cara diputar lewat suatu pusat dan sudut tertentu.

Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar α yang telah disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam.

Apabila arah perputaran rotasi pada sebuah benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk yaitu -α.

Adapun rumus yang digunakan dalam rotasi transformasi geometri, antara lain:

• Rotasi sebesar 90° dengan pusat (a,b) : (x,y) → (-y + a+b, x -a + b)

• Rotasi sebesar 180° dengan pusat (a,b) : (x,y) → (-x + 2a+b, -y + 2b)

• Rotasi sebesar -90° dengan pusat (a,b) : (x,y) → (y – b + a, -x + a + b)

• Rotasi sebesar 90° dengan pusat (0,0) : (x,y) → (-y, x)

• Rotasi sebesar 180° dengan pusat (0,0) : (x,y) → (-x, -y)

• Rotasi sebesar -90° dengan pusat (0,0) : (x,y) → (y, -x) 

4. Dilatasi (Perkalian) 

Dilatasi juga dikenal dengan sebagai perbesaran atau pengecilan sebuah objek.

Apabila transformasi pada translasi, refleksi, serta rotasi hanya mengubah posisi benda, maka lain halnya dengan dilatasi yang melakukan transformasi geometri dengan cara merubah ukuran benda.

Ukuran benda bisa akan dibuah oleh dilatasi menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor dari pengalinya.

Dilatasi bisa dipahami sebagai bentuk pembesaran atau pengecilan dari titik-titik yang membentuk sebuah bangun.

B. Gambar Translasi, Refleksi, Rotasi, Dan di Rotasi Serta Komposisi Transformasi. 

1. Translasi

2. Refleksi

3. Rotasi 

4. Dilatasi

5. Komposisi Transformasi

C. Latihan Transformasi

1. Tentukan koordinat titik A jika A’ (13, -20) merupakan bayangan titik A karena translasi B (10, -7), yaitu:

Misal A = (x, y), maka

Jadi, koordinat titik A adalah (3, -13).

2. Diketahui B’(8, 4) merupakan bayangan titik B(x, y) yang dirotasikan pada pusat (0, 0) sebersar 90o. Berapakah nilai 2x + y?

Diperoleh x = 4 dan y = -8. Maka:

2x + y = 2 (4) + (-8)

2x + y = 8 – 8

2x + y = 0

Jadi, nilai 2x + y adalah 0.

Daftar Pusaka : 

— https://www.yuksinau.id/transformasi-geometri/

— https://rumuspintar.com/transformasi-geometri/contoh-soal/amp/

DETERMINAN DAN INVES MATRIKS

 Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi. Maksudnya matriks persegi tuh yang kayak gimana sih? Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga kalau kita gambarkan bentuk matriksnya, akan membentuk bangun layaknya persegi.

“Jadi, kalau jumlah baris dan kolomnya nggak sama, kita nggak bisa mencari determinannya?”

Jawabannya udah pasti, Gimana, paham ya sampai sini? Oke, kita lanjut, ya. Misalnya, terdapat suatu matriks yang kita beri nama matriks A. Determinan matriks A bisa ditulis dengan tanda det (A), det A, atau |A|. Nah, cara mencari determinan suatu matriks juga berbeda-beda, tergantung dari ordonya. Kita bahas satu-satu, ya...

 

a. Determinan Matriks Ordo 2x2

Misalkan,adalah matriks berordo 2x2. Elemen a dan d terletak pada diagonal utama, sedangkan elemen b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dapat diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Nah, supaya kamu nggak bingung, coba kita perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh soal

Tentukanlah determinan matriks berikut!

Pembahasan:

Teman-teman, mudah kan ternyata. Hm, kira-kira, mencari determinan matriks berordo 3x3 mudah juga nggak ya? Yuk, kita cari tau!

 

b. Determinan Matriks Ordo 3x3

Misalkan,adalah matriks berordo 3x3. Terdapat dua cara yang bisa dilakukan untuk mencari determinannya, yaitu menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

Contoh soal determinan matriks

Tentukan determinan matriks berikut ini menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor!

Pembahasan:

• Aturan Sarrus

Agar lebih mudah, kita tulis kembali elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A sebagai berikut:



Kemudian, kita tarik garis putus-putus seperti gambar di atas. Kalikan elemen-elemen yang terkena garis putus-putus tersebut. Hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna biru diberi tanda positif (+), sedangkan hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna oranye diberi tanda negatif (-). Ingat urutan penulisannya juga, ya!



 

Sepintas terlihat cukup rumit ya. Tapi, kalau kamu sering berlatih soal, pasti akan hafal dengan sendirinya. Jadi, jangan malas untuk berlatih soal, ya! Sekarang, kita coba kerjakan menggunakan metode yang satunya lagi kuy!

• Metode Minor-Kofaktor

Berdasarkan rumus minor-kofaktor di atas, determinan matriks A dapat dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Jadi, pertama, kita pilih salah satu baris atau kolom matriks A untuk mendapatkan nilai determinannya. Misalnya, kita pilih baris ke-1. Elemen-elemen matriks baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13.



Selanjutnya, karena kita pilih elemen-elemen pada baris ke-1, rumus determinan matriks yang kita gunakan adalah sebagai berikut:



Langkah kedua, kita cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (Cij). Cij = (-1)i+j Mij dan Mij = det Aij dengan Aijmerupakan matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Maksudnya bagaimana? Oke, coba kamu perhatikan baik-baik ya.

Sebelumnya, kita telah memilih elemen-elemen pada baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13. Oleh karena itu, matriks bagian dari matriks A nya adalah A11, A12, dan A13.

• A11 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1.

• A12 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2.


• Metode Minor-Kofaktor

Berdasarkan rumus minor-kofaktor di atas, determinan matriks A dapat dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Jadi, pertama, kita pilih salah satu baris atau kolom matriks A untuk mendapatkan nilai determinannya. Misalnya, kita pilih baris ke-1. Elemen-elemen matriks baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13.



Selanjutnya, karena kita pilih elemen-elemen pada baris ke-1, rumus determinan matriks yang kita gunakan adalah sebagai berikut:



Langkah kedua, kita cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (Cij). Cij = (-1)i+j Mij dan Mij = det Aij dengan Aijmerupakan matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Maksudnya bagaimana? Oke, coba kamu perhatikan baik-baik ya.

Sebelumnya, kita telah memilih elemen-elemen pada baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13. Oleh karena itu, matriks bagian dari matriks A nya adalah A11, A12, dan A13.

• A11 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1.

• A12 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2.

• A13 diperoleh dengan 
• menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-3.


Sehingga,



Kalau kamu perhatikan, nilai determinan matriks A yang dihasilkan menggunakan dua metode di atas akan sama aja ya. Jadi, kamu tinggal pilih nih, mana metode yang menurutmu paling mudah. Tapi, meskipun begitu, ada baiknya kamu juga pahami kedua-duanya. Kenapa? Siapa tau di ujian nanti keluar dua-duanya, loh.




Daftar Pustaka

https://www.ruangguru.com/blog/cara-mencari-determinan-dan-invers-matriks

MATRIKS

 

Pengertian dan Jenis-jenis Matriks

Nah, sudah disebutkan di awal nih, bahwa matriks adalah susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris atau kolom dengan dibatasi kurung. Bilangan yang tersusun dalam matriks disebut elemen/unsur matriks. Baris adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar (horizontal), sedangkan kolom adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal). Ordo matriks adalah banyaknya elemen baris dan banyaknya elemen kolom dari suatu matriks. Jika sebuah matriks memiliki i baris dan j kolom, maka matriks tersebut berordo i x j, dapat dituliskan Ai.j.

Jenis-jenis Vektor Matematika

Matriks terbagi menjadi beberapa jenis, diantaranya:

1. Matriks nol, matriks yang seluruh elemennya adalah bilangan nol.
2. Matriks baris, matriks yang hanya memiliki satu baris, berordo 1 x j.
3. Matriks kolom, matriks yang hanya memiliki satu kolom, berordo i x 1.
4. Matriks persegi, matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, berordo i x i.
5. Matriks diagonal, matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali pada diagonal utamanya.
6. Matriks segitiga atas, matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.
7. Matriks segitiga bawah, matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.
8. Matriks identitas, matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya adalah satu, sedangkan elemen lainnya adalah nol.

Dua matriks dikatakan sama (A=B) apabila mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang letaknya sama (bersesuaian) besarnya sama.

Operasi Matriks

Sobat Pintar tahu kan, kalau dua matriks dapat dioperasikan? Nah, Operasi matriks dapat dilakukan hanya jika memenuhi syarat dan ketentuannya. Operasi matriks sendiri meliputi : penjumlahan dan pengurangan dua matriks, perkalian matriks dengan bilangan skalar, perkalian dua matriks, dan transpose matriks.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat penjumlahan dan pengurangan matriks yaitu : jika terdapat dua matriks, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah matriks A dan matriks B dapat dinyatakan dengan A+B, sedangkan selisih matriks A dan matriks B dapat dinyatakan dengan A – B.

Contoh :

Perkalian Skalar pada Matriks

Pada operasi perkalian skalar, sebuah matriks dikalikan dengan bilangan skalar. Jika diketahui A merupakan suatu matriks dan K merupakan bilangan real, maka hasil perkalian K dengan matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan K.

Contoh :

Perkalian Dua Matriks

Berbeda dengan perkalian skalar yang hanya mengalikan setiap elemen matriks dengan bilangan skalar, perkalian dua matriks memiliki aturan tersendiri.  Syarat dua buah matriks, misal matriks A dan matriks B, dapat dikalikan adalah jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Bentuk perkalian antar matriks secara umum, yaitu :

Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B ialah dengan mengalikan elemen pada baris-baris matriks A dengan elemen pada kolom-kolom matriks B, kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.

Contoh matriks :

Transpose Matriks

Transpose suatu matriks, misal matriks A, yang dilambangkan dengan At adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menukarkan baris matriks A menjadi kolom matriks At dan kolom matriks A menjadi baris matriks At.

Contoh :

 

Determinan Matriks

Determinan suatu matriks didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.  Determinan matriks hanya dapat ditentukan pada matriks persegi. Determinan dari matriks A dapat dituliskan det(A) atau |A|.

Untuk menentukan determinan dari sebuah matriks, terdapat dua aturan berdasarkan ordonya, yaitu ordo 2x2 dan ordo 3x3.

Contoh Soal Matriks

A. -196
B. -188
C. 21
D. 188
E. 196

Jawaban:

A. 196

Pembahasan:

Daftar Pustaka

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal

PROGRAM LINEAR

 A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIBEL

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel merupakan suatu kalimat terbuka matematika yang di dalamnya memuat dua variabel.

Dengan masing-masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud disini antara lain: >, <, ≤, atau ≥. Bentuk dari pertidaksamaan linear bisa kita tuliskan seperti berikut ini:Nilai optimum fungsi objektif adalah nilai maksimum atau minimum fungsi objektif sebagai hasil dari substitusi titik-titik ekstrem terhadap fungsi linear f(x, y) = px + qy, penjabarannya sebagai berikut.

1. Nilai Maksimum Fungsi Objektif

Nilai maksimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≤ m 

cx + dy ≤ n 

x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. Nilai Minimum Fungsi Objektif

Nilai minimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≥ m

cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o

Contoh Soal :

1.    Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...
a.    24
b.    32
c.    36
d.    40
e.    60
PEMBAHASAN:
-    x + y ≤ 8
ketika x = 0, maka y = 8 .... (0, 8)
ketika y = 0, maka x = 8 .... (8, 0)
-    x + 2y ≤ 12
ketika x = 0, maka y = 6 .... (0, 6)
ketika y = 0, maka x = 12 .... (12, 0)
Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah:

Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu:

subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8
x + 4 = 8
x = 4 .... (4, 4)
Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah:
f(x, y) = 5x + 4y

1. ax + by > c
2. ax + by < c
3. ax + by ≥ c
4. ax + by ≤ c

Definisi

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk

ax + by + c < 0

ax + by + c ≤ 0

ax + by + c > 0

ax + by + c ≥ 0

dengan:

a, b : koefisien (a ≠ 0, b ≠ 0, a,b ∈ R)

c : konstanta (c ∈ R)

x, y : variabel (x, y ∈ R)

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dan gambarkan grafik untuk setiap pertidaksamaan di bawah ini.

 –2x + y > 5, untuk x dan y semua bilangan real

Alternatif Penyelesaian

Dengan menguji nilai-nilai x dan y yang memenuhi – 2x + y > 5 , maka dapat ditemukan banyak pasangan x dan y yang memenuhi pertidaksamaan.

Ilustrasi himpunan penyelesaian, jika dikaji secara geometris disajikan pada gambar berikut.

Dari gambar diperoleh bahwa terdapat titik yang tak hingga banyaknya (daerah yang tidak diarsir) yang memenuhi –2x + y > 5.

Kali ini, melalui grafik, kita dapat memilih sembarang titik, misalnya titik (–5, 0), sedemikian sehingga –2(–5) + 0 = 10 > 5 adalah pernyataan benar.

Secara umum, program linear terdiri dari dua bagian, yaitu fungsi objektif (fungsi tujuan) dan fungsi kendala.

1. Fungsi Objektif (Fungsi Tujuan)

Fungsi objektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimalkan. Fungsi objektif bisa bernilai maksimum atau minimum. Hal ini tergantung pada kasusnya.

Jika fungsi objektif biaya produksi, nilainya dicari yang minimum. Namun, kalau fungsi objektif berupa keuntungan, nilainya dicari yang maksimum. 

Bentuk umum fungsi tujuan adalah maksimum atau minimum f(x, y) = px + qy, dengan p dan q adalah konstanta.

2. Fungsi Kendala

Fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh peubah yang terdapat dalam fungsi objektif. Bentuk umum dari fungsi kendala adalah sebagai berikut.

ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m

cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o

Berikut karakteristik program linear.

1. Program linear dapat mengatasi permasalahan dengan kendala-kendalanya dalam bentuk pertidaksamaan.

2. Program linear dapat mengatasi jumlah kendala yang banyak.

3. Program linear hanya terbatas pada fungsi objektif dan kendala linear.

, Langkah-langkah menuliskan persoalan sehari-hari ke dalam model matematika adalah sebagai berikut.

1. Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dalam sebuah tabel.
2. Buat permisalan untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variabel x dan y.
3. Buat sistem pertidaksamaan linear dari hal-hal yang sudah diketahui. 
4. Tentukan fungsi objektif
5. Selesaikan model matematika tersebut untuk mendapatkan nilai optimum dari fungsi objektif. 

Model matematika terdiri atas dua bagian, yaitu:

1. Fungsi objektif, yakni f(x, y) = px + qy
2. Syarat atau batasan yang berisikan kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh variabel x dan y

Nilai optimum fungsi objektif adalah nilai maksimum atau minimum fungsi objektif sebagai hasil dari substitusi titik-titik ekstrem terhadap fungsi linear f(x, y) = px + qy, penjabarannya sebagai berikut.

1. Nilai Maksimum Fungsi Objektif

Nilai maksimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≤ m 

cx + dy ≤ n 

x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. Nilai Minimum Fungsi Objektif

Nilai minimum f(x, y) = px + qy dengan kendala:

ax + by ≥ m

cx + dy ≥ n

x ≥ 0 ; y ≥ o

Contoh Soal :

1.    Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...

a.    24

b.    32

c.    36

d.    40

e.    60

PEMBAHASAN:

-    x + y ≤ 8

ketika x = 0, maka y = 8 .... (0, 8)

ketika y = 0, maka x = 8 .... (8, 0)

-    x + 2y ≤ 12

ketika x = 0, maka y = 6 .... (0, 6)

ketika y = 0, maka x = 12 .... (12, 0)

Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah:

Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu:

subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8

x + 4 = 8

x = 4 .... (4, 4)

Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah:

f(x, y) = 5x + 4y

-    titik A (0, 6)

      5x + 4y = 5.0 + 4.6 = 24

-    titik B (4, 4)

      5x + 4y = 5.4 + 4.4 = 20 + 16 = 36

-    titik C (8, 0)

      5x + 4y = 5.8 + 4.0 = 40

Jadi, nilai maksimumnya adalah 40.

Daftar pustaka:

https://wirahadie.com/materi-matematika-kelas-11-bab-2/amp/), kabarkan.com (https://kabarkan.com/program-linear

https://kumparan.com/kabar-harian/program-linear-pengertian-model-matematika-dan-contoh-soalnya-1xDW1k8fUWz

https://soalkimia.com/contoh-soal-program-linear/