TURUNAN FUNGSI ALJABAR

 

A. Turunan Fungsi aljabar Dan Rumus Turunan

•Turunan fungsi aljabar 

Turunan atau diferensial merupakan salah satu gagasan fundamental dalam kalkulus, dan merupakan landasan bagi matematika lanjutan. Pada awalnya turunan didapatkan oleh Sir Isaac Newton (1643 - 1727) dan Gottfried Leibniz (1646-1716). Newton yang berkebangsaan Inggris, mendapatkan turunan dalam usahanya memecahkan masalah-masalah tertentu dalam fisika, yaitu tentang kecepatan benda bergerak. Sedangkan Leibniz yang berkebangsaan Jerman, mendapatkan turunan dalam usahanya memecahkan masalah-masalah tertentu dalam geometri, yaitu tentang garis singgung suatu kurva.

Turunan pada dasarnya berkenaan dengan tingkat perubahan dari suatu fungsi. Tingkat perubahan suatu peubah terikat sebagai akibat dari perubahan peubah bebas dapat ditentukan dengan turunan. Karena pada dasarnya semua yang ada mengalami perubahan, maka turunan sangat berguna sebagai dasar analisis matematik. Jika suatu keadaan dapat dinyatakan dengan suatu fungsi, maka keadaan tersebut dapat dianalisa secara matematik dengan menggunakan turunan

 

•Rumus Turunan

B. Persamaan Garis Singgung Kurva Yang Menggunakan Turunan 

Gradien Garis disimbolkan dengan m$�$ dimana :

• gradien pada persamaan garis y=mx+c$�=��+�$ adalah m$�$

• gradien pada persamaan garis ax+by=c$��+��=�$ adalah m=−ab$�=-\frac{�}{�}$

• gradien jika diketahui dua titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dan (x2,y2)$(�2,�2)$ adalah m=y2−y1x2−x1

• y=mx+c$�=��+�$ adalah m$�$

• gradien pada persamaan garis ax+by=c$��+��=�$ adalah m=−ab$�=-\frac{�}{�}$

• gradien jika diketahui dua titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dan (x2,y2)$(�2,�2)$ adalah m=y2−y1x2−x1$�=\frac{{�}_2-{�}_1}{{�}_2-{�}_1}$

Gradien dua garis lurus :

• yang saling sejajar maka m1=m2${�}_1={�}_2$

• yang saling tegak lurus maka m1.m2=−1${�}_1.{�}_2=-1$

Persamaan Garis Lurus :

• Jika diketahui satu titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dan gradien m$�$, maka persamaan garisnya : y−y1=m(x−x1)$�-{�}_1=�(�-{�}_1)$

• Jika diketahui dua titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dan (x2,y2)$(�2,�2)$ maka persamaan garisnya : y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

Perhatikan Gambar Grafik fungsi y=f(x)$�=�(�)$

 

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y=f(x)$�=�(�)$ di titik A(a,f(a))$�(�,�(�))$ adalah

m=f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx$�={�}^{\prime }(�)=\underset{\mathrm{\Delta }�\to 0}{lim}\frac{�(�+\mathrm{\Delta }�)-�(�)}{\mathrm{\Delta }�}$

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dengan gradien m$�$ adalah y−y1=m(x−x1)$�-{�}_1=�(�-{�}_1)$ , sehingga

Persamaan Garis Singgung di titik (a,f(a))$(�,�(�))$ pada kurva adalah

y−f(a)=f′(a)(x−a)

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x2$�={�}^2$ di titik (−1,1)$(-1,1)$ !

Jawab :

• cari m$�$ dulu di x=−1$�=-1$

  mm====f′(a)2x2(−1)−2$$\begin{array}{rcl}�& =& {�}^{\prime }(�)\\ & =& 2�\\ �& =& 2(-1)\\ & =& -2\end{array}$$

• maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m=−2$�=-2$ di (−1,1)$(-1,1)$ adalah:y−y1y−1y−1y====m(x−x1)−2(x−(−1))−2x−2−2x−1

C. Nilai Stasioner Dan Turunan Kedua

Jika f(x) diferensiabel di x = a dengan $f^{\prime }\left(a\right)=0$ maka f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan titik (a, f(a)) disebut titik stasioner dari f(x).

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan f(b) adalah nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) disebut titik stasioner dari fungsi f.


Contoh 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f\left(x\right)=x^2-4x$

Jawab :
f '(x) = 2x − 4

f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada saat x = 2

Nilai stasioner : f(2) = (2)2 − 4(2) = −4
Titik stasioner : (2, −4)

Turunan Kedua

Misalkan f(a) adalah nilai stasioner di x = a

• Jika f ''(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum. 
• Jika f ''(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum. 
• Jika f ''(a) = 0 maka jenis ekstrim belum dapat ditetapkan (gunakan uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrimnya)

Contoh:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$

Jawab :

f '(x) =  3x² − 12x + 9

f ''(x) = 6x − 12

f '(x) = 0

⇔ 3x² − 12x + 9 = 0

⇔ x² − 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(x - 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Nilai stasioner pada x = 1 :

f(1) = (1)³ − 6(1)² + 9(1) + 1 = 5

Nilai stasioner pada x = 3

f(3) = (3)³ − 6(3)² + 9(3) + 1 = 1

Uji turunan kedua

f ''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0

Karena f ''(1) < 0 maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum

f ''(3) = 6(3) − 12 = 6 > 0

Karena f ''(3) > 0 maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum