REMEDIAL PTS

 

INTEGRAL FUNGSI ALJABAR

A. INTEGRAL TAK TENTU

Integral merupakan anti turunan atau kebalikan dari turunan yang berfungsi untuk menentukan daerah, volume, titik pusat, dan lainnya. Kalau suatu fungsi f(x) dibalik menjadi f’(x) maka itu merupakan turunan. Nah, jika f’(x) dibalik lagi menjadi f(x), maka itu merupakan integral. 

Sebelum ke rumus integral tak tentu, perlu paham konsep turunan nih. Nih kasih bayangin dikit tentang turunan secara umum.

y= X3 Turunan dari soal ini berapa?

dydx = 3×2 Setelah diturunkan seperti ini, lalu dikali silang.

dy = 3×2 dx 

d(X3) = 3×2 dx Bisa dilihat ya, y diganti dengan X3

Nah, dari sini bisa kita simpulkan ya cara mencari turunan bentuknya akan seperti ini nih.

Turunan dari X2 akan menjadi d(X2) = 2x dx

Oke, konsep turunan udah ingat lanjut ke materi integral tak tentu lagi.

Coba deh perhatikan antara turunan dan integral di bawah ini.

Turunan:

Sekarang kita balik, dikalikan silang ya:

df(x) = f’(x)dx

Kita tambahkan aja lambang integral (∫), menjadi:

∫df(x) = ∫f’(x)dx

∫f’(x)dx = f(x)+C

Pengertian integral tak tentu (indefinite integral) merupakan suatu fungsi baru yang punya turunan dari fungsi aslinya dan fungsi tersebut belum memiliki nilai pasti. Itulah mengapa dalam integral tak tentu ada konstanta (C).

Rumus Integral Tak Tentu

Oke, kita tahu kalau integral tak tentu berarti nilai atau batasannya belum pasti, sehingga ada nilai konstanta di dalamnya. Sekarang, mari kita definisikan seperti apa sih rumus dasar integral tak tentu? Perhatikan rumus di bawah ini.

Sifat-Sifat Integral Tak Tentu

Pengertian udah tahu, rumus juga udah tahu, kurang lengkap rasanya kalau kita gak mengenal sifat-sifat dari integral tak tentu. Berikut adalah sifat-sifat integral tak tentu:

Jawab:

Untuk menjawab soal nomor 3 ini sama seperti contoh-contoh sebelumnya. Kita tentukan dahulu nilai u dan du-nya. Seperti berikut ini:

u=x−7−−−−−√5

u5=x−7→5u4du=dx

x=u5+7

Sehingga

=∫(u5+7)(u)(5u4)du

=∫(u5+7)5u5du

=∫(5u10+35u5)du

=51u11+356u6+C

=51((x−7)1/5)11+356((x−7)1/5)6+C

=51((x−7)11/5+356(x−7)6/5+C

C. MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN PENGINTEGRALAN 

1.

Pembahasan

2. 

Pembahasan

3. 

Pembahasan

Daftar pustaka

Zenius. 2022. Sheetmath. 2017. 2022

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

 

A. Turunan Fungsi aljabar Dan Rumus Turunan

•Turunan fungsi aljabar 

Turunan atau diferensial merupakan salah satu gagasan fundamental dalam kalkulus, dan merupakan landasan bagi matematika lanjutan. Pada awalnya turunan didapatkan oleh Sir Isaac Newton (1643 - 1727) dan Gottfried Leibniz (1646-1716). Newton yang berkebangsaan Inggris, mendapatkan turunan dalam usahanya memecahkan masalah-masalah tertentu dalam fisika, yaitu tentang kecepatan benda bergerak. Sedangkan Leibniz yang berkebangsaan Jerman, mendapatkan turunan dalam usahanya memecahkan masalah-masalah tertentu dalam geometri, yaitu tentang garis singgung suatu kurva.

Turunan pada dasarnya berkenaan dengan tingkat perubahan dari suatu fungsi. Tingkat perubahan suatu peubah terikat sebagai akibat dari perubahan peubah bebas dapat ditentukan dengan turunan. Karena pada dasarnya semua yang ada mengalami perubahan, maka turunan sangat berguna sebagai dasar analisis matematik. Jika suatu keadaan dapat dinyatakan dengan suatu fungsi, maka keadaan tersebut dapat dianalisa secara matematik dengan menggunakan turunan

 

•Rumus Turunan

B. Persamaan Garis Singgung Kurva Yang Menggunakan Turunan 

Gradien Garis disimbolkan dengan m$�$ dimana :

• gradien pada persamaan garis y=mx+c$�=��+�$ adalah m$�$

• gradien pada persamaan garis ax+by=c$��+��=�$ adalah m=−ab$�=-\frac{�}{�}$

• gradien jika diketahui dua titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dan (x2,y2)$(�2,�2)$ adalah m=y2−y1x2−x1

• y=mx+c$�=��+�$ adalah m$�$

• gradien pada persamaan garis ax+by=c$��+��=�$ adalah m=−ab$�=-\frac{�}{�}$

• gradien jika diketahui dua titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dan (x2,y2)$(�2,�2)$ adalah m=y2−y1x2−x1$�=\frac{{�}_2-{�}_1}{{�}_2-{�}_1}$

Gradien dua garis lurus :

• yang saling sejajar maka m1=m2${�}_1={�}_2$

• yang saling tegak lurus maka m1.m2=−1${�}_1.{�}_2=-1$

Persamaan Garis Lurus :

• Jika diketahui satu titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dan gradien m$�$, maka persamaan garisnya : y−y1=m(x−x1)$�-{�}_1=�(�-{�}_1)$

• Jika diketahui dua titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dan (x2,y2)$(�2,�2)$ maka persamaan garisnya : y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

Perhatikan Gambar Grafik fungsi y=f(x)$�=�(�)$

 

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y=f(x)$�=�(�)$ di titik A(a,f(a))$�(�,�(�))$ adalah

m=f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx$�={�}^{\prime }(�)=\underset{\mathrm{\Delta }�\to 0}{lim}\frac{�(�+\mathrm{\Delta }�)-�(�)}{\mathrm{\Delta }�}$

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1,y1)$(�1,�1)$ dengan gradien m$�$ adalah y−y1=m(x−x1)$�-{�}_1=�(�-{�}_1)$ , sehingga

Persamaan Garis Singgung di titik (a,f(a))$(�,�(�))$ pada kurva adalah

y−f(a)=f′(a)(x−a)

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x2$�={�}^2$ di titik (−1,1)$(-1,1)$ !

Jawab :

• cari m$�$ dulu di x=−1$�=-1$

  mm====f′(a)2x2(−1)−2$$\begin{array}{rcl}�& =& {�}^{\prime }(�)\\ & =& 2�\\ �& =& 2(-1)\\ & =& -2\end{array}$$

• maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m=−2$�=-2$ di (−1,1)$(-1,1)$ adalah:y−y1y−1y−1y====m(x−x1)−2(x−(−1))−2x−2−2x−1

C. Nilai Stasioner Dan Turunan Kedua

Jika f(x) diferensiabel di x = a dengan $f^{\prime }\left(a\right)=0$ maka f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan titik (a, f(a)) disebut titik stasioner dari f(x).

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa f(a) adalah nilai stasioner di x = a dan f(b) adalah nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) disebut titik stasioner dari fungsi f.


Contoh 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f\left(x\right)=x^2-4x$

Jawab :
f '(x) = 2x − 4

f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada saat x = 2

Nilai stasioner : f(2) = (2)2 − 4(2) = −4
Titik stasioner : (2, −4)

Turunan Kedua

Misalkan f(a) adalah nilai stasioner di x = a

• Jika f ''(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum. 
• Jika f ''(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum. 
• Jika f ''(a) = 0 maka jenis ekstrim belum dapat ditetapkan (gunakan uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrimnya)

Contoh:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$

Jawab :

f '(x) =  3x² − 12x + 9

f ''(x) = 6x − 12

f '(x) = 0

⇔ 3x² − 12x + 9 = 0

⇔ x² − 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(x - 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Nilai stasioner pada x = 1 :

f(1) = (1)³ − 6(1)² + 9(1) + 1 = 5

Nilai stasioner pada x = 3

f(3) = (3)³ − 6(3)² + 9(3) + 1 = 1

Uji turunan kedua

f ''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0

Karena f ''(1) < 0 maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum

f ''(3) = 6(3) − 12 = 6 > 0

Karena f ''(3) > 0 maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum