KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

 Nama: Eva Awalia Safitri Harahap

 Absen: 10

 Kelas: X IPS 1

Contoh Soal Fungsi Komposiis Dan Fungsi Inverst

Contoh Soal Fungsi Komposisi:

1. Jika

Dan Tentukanlah nilai:

Pembahasan:

Maka:

2. Diberikan dua buah fungsi yang masing-masing f (x) dan g (x) berturut-turut yaitu :

f (x) = 3x + 2
g (x) = 2 − x

Tentukanlah:
a) (f o g) (x)
b) (g o f) (x)

Jawaban:
Data:
f (x) = 3x + 2
g (x) = 2 − x

a) (f o g)(x)

“Masukkanlah g (x) nya kef (x)”

hingga menjadi:
(f o g)(x) = f ( g(x) )
= f (2 − x)
= 3 (2 − x) + 2
= 6 − 3x + 2
= − 3x + 8

b) (g o f ) (x)

Hingga menjadi :
(f o g) (x) = g (f (x) )
= g ( 3x + 2)
= 2 − ( 3x + 2)
= 2 − 3x − 2
= − 3x

2. Diketahui fungsi f (x) = 3x − 1 dan g (x) = 2×2 + 3. Nilai dari komposisi fungsi ( g o f )(1) = 

Jawaban
Diketahui:
f (x) = 3x − 1 dan g (x) = 2×2 + 3
( g o f )(1) =…?

Masukkanlah f (x) nya pada g (x) lalu isi dengan 1
(g o f) (x) = 2 (3 x − 1) 2 + 3
(g o f) (x) = 2 (9 x 2 − 6x + 1) + 3
(g o f) (x) = 18x 2 − 12x + 2 + 3
(g o f) (x) = 18×2 − 12x + 5
(g o f) (1) = 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11

3. Riberi dua buah fungsi:

f (x) = 2x − 3
g (x) = x2 + 2x + 3

Jika (f o g)(a) adalah 33, tentukanlah nilai dari 5a

Jawaban:

Cari terlebih dahulu (f o g)(x)
(f o g)(x) sama dengan 2(x2 + 2x + 3) − 3
(f o g)(x) sama dengan 2×2 4x + 6 − 3
(f o g)(x) sama dengan 2×2 4x + 3

33 sama dengan 2a2 4a + 3
2a2 4a − 30 sama dengan 0
a2 + 2a − 15 sama dengan 0

Faktorkan:
(a + 5)(a − 3) sama dengan 0
a = − 5 ataupun a sama dengan 3
Hingga
5a = 5(−5) = −25 atau 5a = 5(3) = 15

4. Jika (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Berapakah nilai dari f(3)?

Jawaban:
(f o g)(x) sama dengan x² + 3x + 4
f (g(x)) sama dengan x² + 3x + 4
g(x) sama dengan 3 Jadi,
4x – 5 sama dengan 3
4x sama dengan 8
x sama dengan 2
f (g(x)) = x² + 3x + 4 dan untuk g(x) sama dengan 3 didapat x sama dengan 2
Hingga : f (3) = 2² + 3 . 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

Fungsi Invers:

Rumus Fungsi Invers:

Contoh Soal:

1. Diketahui Tentukan:.

Pembahasan:

Maka,

 

2. Tentukan f⁻¹(x) dari f(x) = 2x + 4

Jawab
Kita gunakan rumus fungsi invers pada baris pertama tabel

f(x) = 2x + 4

f(x) – 4 = 2x

3. Tentukan f⁻¹(x) dari 

Jawab:

Sekarang kita masukan rumus fungsi invers pada baris ke-2 tabel

(7x+3) f(x) = 4x -7

7x f(x) + 3 f(x) = 4x – 7

7x f(x) – 4x = – 3 f(x) – 7

(7 f(x) – 4)x = – 3 f(x) – 7

4. Tentukan f⁻¹(x) dari f(x) = x² – 6x + 15!

Jawab:
Sekarang kita masukan rumus fungsi invers pada baris ke-3 tabel

f(x) = x² – 6x + 15

f(x) = x² – 6x + 9 – 9 + 15

f(x) = (x-3)² + 6

f(x) – 6 = (x-3)²

5. Tentukan f⁻¹(x) dari f(x) = eˣ⁺⁷!

Jawab:

Kita gunakan rumus fungsi invers pada baris ke-5 tabel
f(x) = eˣ⁺⁷

ᵉlog f(x) = x + 7

x = ᵉlog f(x) – 7
(karena ᵉlog x = ln x)

f⁻¹(x) = ln x – 7

www.rumusrumus.co.id

www.zenius.net

CONTOH SOAL FUNGSI KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

Contoh Soal Fungsi:

1. Tentukan nilai maksimum dari fungsi y = x2 – x – 6.

Pembahasan

Nilai maksimum dari suatu fungsi kuadrat adalah

Jadi, y puncak = – 23/4.

2. Jika titik puncak dari grafik y = x2 + px + q adalah (2, 3), tentukan nilai p + q.

Pembahasan:

Dengan menggunakan rumus titik puncak koordinat x, maka:

–b/2a = 2

–p/2×1 = 2

p = 2 × 2 × (-1)

p = -4

Dengan mensubstitusikan titik puncak (2, 3) dan nilai p ke persamaan y = x2 + px + q diperoleh:

3 = 22 + -4(2) + q

3 = 4 – 8 + q

q = 1

Maka

p + q = -4 + 1 = -3

Jadi, nilai p + q adalah -3

3. Jika fungsi y = ax2 + 8x + (a+2) mempunyai sumbu simetri x = 2, carilah koordinat titik puncaknya.

Pembahasan:

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

–b/2a = 2

–8/2a = 2

a = -2

Dengan mensubstitusikan nilai a ke fungsi y, diperoleh:

y = ax2 + 8x + (a+2)

y = -2x2 + 8x

Maka kita dapat menentukan koordinat titik puncak y, yaitu

-(b2 – 4ac) / 4a = -(82 – 4(-2)(0)) / 4(-2)

-(b2 – 4ac) / 4a = – 64 / -8

-(b2 – 4ac) / 4a = 8

Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (2, 8).

Contoh 1

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
2. Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh

1. Pada saat x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbolkan akan menjadi: x → –∞, y → 0.
2. Pada saat x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x → 0^–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

Sama halnya dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika kita tulis simbolnya maka akan menjadi: x → ∞, y → 0.

Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y = 0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,

Asimtot Horizontal
Diberikan sebuah konstanta k, garis y = k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas, akan menimbulkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.

Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menunjukan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

Contoh 2

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Berdasarkan gambar (b) di atas, pakailah notasi matematika guna:

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik di atas.
2. Mendeskripsikan apa yang berlangsung pada saat x mendekati nol.

Pembahasan

1. Pada saat x → –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.
2. Pada saat x → 0^–, g(x) → ∞. Ketika x → 0⁺, y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, maka dapat diketahi bahwasannya pada saat x mendekati nol, g akan berubah menjadi sangat besar serta semakin bertambah tidak terbatas.

Hal tersebut adalah indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal.

Dan kemudian kita akan menyebut garis x = 0 adalah asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga adalah asimtot vertikal untuk f). Secara umum,

Asimtot Vertikal
Diberikan sebuah konstanta h, garis x = h adalah asimtot vertikal untuk fungsi V apabila x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x → h⁺, V(x) → ±∞ atau pada saat x → h^–, V(x) → ±∞.

Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah bermanfaat.

Sebab grafik y = 1/x dan y = 1/x² bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal maupun gorizontal. Fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sementara untuk fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x². Kemudian perhatikan contoh yang ada di bawah ini:

Contoh 3

Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggaplah |a| = 1.

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

4) Fungsi rasional f(x) = 1/x digeser ke arah sumbu x positif sejauh 5 satuan dan ke arah sumbu y negatif sejauh 3 satuan. Tentukan bentuk fungsi rasional tersebut sekarang!

Penyelesaian: